Intérêts composés et actualisation : la valeur du temps

Placer de l'argent rapporte des intérêts, et ces intérêts rapportent à leur tour des intérêts. C'est le principe des intérêts composés. Et à l'inverse, une somme promise dans le futur vaut moins qu'aujourd'hui : c'est l'actualisation. Ces deux idées sont à la base de tout calcul financier : épargne, emprunt, choix d'investissement.

Capitaliser : ce que devient une somme placée

Avec un capital C₀ placé au taux i pendant n années, intérêts réinvestis :

Cₙ = C₀ × (1 + i)ⁿ

Exemple : 1 000 € à 4 % pendant 10 ans → 1 000 × 1,04¹⁰ = 1 480,24 €.

Avec des intérêts simples (non réinvestis), on n'aurait que 1 000 + 10 × 40 = 1 400 €. Les 80,24 € d'écart, ce sont les intérêts produits par les intérêts.

Plus la durée est longue, plus l'écart se creuse : c'est l'effet « boule de neige ».

Actualiser : ce que vaut aujourd'hui une somme future

L'actualisation fait le chemin inverse. Combien faut-il placer aujourd'hui pour obtenir une somme Cₙ dans n années ?

Valeur actuelle = Cₙ × (1 + i)⁻ⁿ = Cₙ ÷ (1 + i)ⁿ

Exemple : recevoir 1 480,24 € dans 10 ans, avec un taux de 4 %, vaut aujourd'hui 1 000 €.

D'où vient la formule de l'annuité

Un emprunt de C remboursé par n annuités constantes a : la somme empruntée est égale à la valeur actuelle de toutes les annuités futures.

C = a × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, donc a = C × i ÷ [1 − (1 + i)⁻ⁿ]

C'est exactement la formule utilisée dans le simulateur d'emprunt et dans les simulateurs immobiliers (avec un taux mensuel).

Et pour investir : la VAN

Une entreprise hésite à investir 100 000 € dans une machine qui rapportera 30 000 € par an pendant 4 ans. La valeur actuelle nette (VAN) compare l'investissement d'aujourd'hui aux gains futurs actualisés :

VAN = −100 000 + 30 000 × [1 − 1,08⁻⁴] ÷ 0,08 ≈ −100 000 + 99 364 = −636 € (au taux de 8 %)

Une VAN négative signifie que, compte tenu du prix du temps, l'investissement ne rapporte pas assez à ce taux. À 6 %, la VAN deviendrait positive : tout dépend du taux exigé.

Ce qu'il faut retenir

• Capitaliser : Cₙ = C₀ × (1 + i)ⁿ. Actualiser : C₀ = Cₙ × (1 + i)⁻ⁿ.
• Les intérêts composés font grossir l'épargne de plus en plus vite avec le temps.
• L'annuité d'un emprunt et la VAN reposent sur l'actualisation.

Pour voir l'effet des intérêts composés sur votre épargne : le simulateur d'épargne. Pour vous entraîner : des exercices corrigés générés à l'infini.

Contenu à visée éducative : les rendements utilisés sont des hypothèses de calcul, pas des prévisions.

Sources

1. [1]Programme de mathématiques financières du BTS Comptabilité et gestion et du DCG (UE 6, finance d'entreprise)